Tensor #2. Einstein Notation and Maps

XylyXylyX의 What is Tensor 강의를 정리한 노트입니다.

Einstein Notation

지난 편에서 벡터 스페이스 \(\newcommand{\V}{\mathcal{V}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} (\V, +, \R)\)와 차원에 대해서 설명했습니다. 차원을 곁들여서 이제 벡터 스페이스를 \(\newcommand{\d}{\mathbf{d}} \newcommand{\VBa}[1]{(\V, +, \R, #1)} \newcommand{\VBb}[1]{(\mathcal{W}, +, \R, #1)} \VBa{\d}\)라고 쓰겠습니다. \(\d\)는 벡터 스페이스의 차원을 의미합니다.

\(\d = 4\)라고 생각하고, 4차원 실수 벡터 공간 \(\VBa{4}\)를 생각해봅시다¹. 그럼 \(m \in {\VBa{4}}\)은 기저 벡터_{basis vector}² \(w, v, p, g\)와 적절한 스칼라들 \(a, b, c, d\)의 선형 결합 \(m = aw + bv + cp + dg\)로 나타낼 수 있을 것입니다.

늘 이런 적당한 알파벳을 찾는 것은 귀찮을 뿐더러 헷갈리기까지 합니다. 따라서 인덱싱_indexing을 통해서 이 과정을 단순화하고자 합니다. 하나의 벡터를 완전히 표현하는데는 언제나 기저와 적당한 스칼라들의 곱과 합이 필요하기 때문에, 이것을 잘 나타내주는 표현이 필요한데요. 그 표기법을 아인슈타인 표기_{Einstein notation}이라고 하겠습니다.

임의의 4차원 벡터 \(a\)는 아인슈타인 표기로는 \(\newcommand{\a}{A^{\mu}e_{\mu}} \a\)라고 표기하며, 여기서 \(\mu\)는 더미 인덱스_{dummy index}로, 위 첨자와 아래 첨자에 동시에 등장한다면 반복하며 곱해서 더하라는 뜻을 가집니다. 다시 말해 4차원 벡터일 경우 \(\a = \sum_{i}A^ie_i = A^0e_0 + A^1e_1 + A^2e_2 + A^3e_3\)입니다.

Map

두 벡터 스페이스 \(\VBa{4}\)와 \(\VBb{10}\) 사이의 관계를 정의할 수 있을까요? 물론 가능하고, 그걸 우리는 맵_map이라고 부를 것입니다. 맵은 굉장히 여러 군데에서 쓰여서 그 표기도 다양한데요. 예를 몇 개 들면, \(\VBa{4}\)에서 \(\VBb{10}\)로 가는 맵 \(\Lambda : \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{W}\)를 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

• operator form: \(\Lambda v \rightarrow w\)
• function form: \(\Lambda(v) \rightarrow w\)
• operator와 function 사이 어딘가: \(\langle\Lambda, v\rangle \rightarrow w\)
  • 이 경우 \(\langle\Lambda,\;\rangle\)는 operator 처럼 작용하게 됩니다.

앞으로 모든 노트에서는 \(\newcommand{\map}[2]{\langle#1,#2\rangle} \map{\;}{\;}\)을 사용하게 될 텐데, 그 편리함과 이유는 차차 나오게 됩니다.

그럼 두 벡터 스페이스 \(\VBa{4}\)와 \(\VBb{10}\) 사이의 관계를 정의해볼까요? \(\VBa{4}\)의 모든 원소를 \(\VBb{10}\)에 대응시키기 위해선, 기저들의 관계만 정의해주면 됩니다. 왜냐하면 스칼라 필드는 둘 다 공유하고 있기 때문이죠 (실수). \(\VBa{4}\)의 기저 벡터를 \(e_i\)라고 하고 \(\VBb{10}\)의 기저 벡터를 \(f_j\)라고 한다면. 아래와 같은 꼴로 그 관계를 정의할 수 있을 겁니다.

• \[\map{\Lambda}{e_0} = 3f_1 + 2f_4 + f_{10}\]
• \[\map{\Lambda}{e_1} = \pi f_3 + e^{17}f_0\]
• \[\map{\Lambda}{e_2} = f_2\]
• \[\map{\Lambda}{e_3} = f_3 + f_5 + f_7 + f_9\]

위의 네 가지 맵핑이 임의로 작성된 것은 충분히 느껴지실 겁니다. 네, 아무렇게나 작성할 수 있습니다. \(f_j\)의 차수가 1승이기만 한다면요. 이와 같은 맵을 선형 변환_{linear map}이라고 합니다. 선형 변환은 아래와 같은 특징을 가집니다. 당연히.. 선형성이죠.

선형성_Linearity

• \[\map{\Lambda}{v+p} = \map{\Lambda}{v} + \map{\Lambda}{p}\]
• \[\map{\Lambda}{av+bp} = a\map{\Lambda}{v} + b\map{\Lambda}{p}\]

지난 편에서 두 벡터 스페이스 \(\VBa{4}\)와 \(\VBb{4}\)의 \(+\)는 서로 다르다고 했고, 두 공간에서 각각 뽑은 벡터 사이의 \(+\)는 정의되어 있지 않았다고 했는데요. 위 식에서 \(+\)는 그 조건을 잘 만족합니다. 좌변의 \(+\)는 \(\mathcal{V}\)의 \(+\)고, 우변의 \(+\)는 \(\mathcal{W}\)의 \(+\)입니다.

이를 임의의 벡터 \(a = \a\)에 대해서 적어보면, \(\map{\Lambda}{\a} = A^0\map{\Lambda}{e_0} + A^1\map{\Lambda}{e_1} + \ldots\)가 될 것입니다. 물론 \(\map{\Lambda}{e_i}\)는 정의된 후겠죠.