XylyXylyX의 What is Tensor 강의를 정리한 노트입니다.

Vector는 특수한 조건condition을 가진 집합입니다.

  1. Addition
    Vector Space $\newcommand{\V}{\mathcal{V}} \V$에 대해서 $\newcommand{\and}{\;\&\;} x \in \V \and y \in \V \rightarrow (x + y) \in \V$
  2. Scalar Multiplication
    $\newcommand{\R}{\mathbb{R}} a \in \R, v \in \V \rightarrow ax \in \V$, 여기서 $\R$은 실수 체field이며, 다른 어떠한 필드도 가능합니다. (복소수, 사원수quaternion, 팔원수octonion 등..)

이 정의에 필수적인 요소들을 모아서 이렇게 씁시다 : $\newcommand{\VBa}{(\V, +, \R)} \VBa$
각각 집합 $\V$, Addition $+$, Scalar Field (이 경우에는 실수체) $\R$을 의미합니다.

여기서 추가적으로 주의해야 할 것은 $\VBa$의 $+$와 $\newcommand{\VBb}{(\mathcal{W}, +, \R)} \VBb$의 $+$가 다르다는 점입니다. 다시 말해서 $w \in \VBa, q \in \VBa$일 때 $w + q$의 $+$와 $r \in \VBb, s \in \VBb$일 때 $r + s$의 $+$가 같지 않다는 거죠. $w + s$와 같은 $+$는 정의되지 않았습니다.

벡터는 아래와 같은 성질property을 가집니다.

  1. Linearity
    $x \in \V, y \in \V, a \in \R \rightarrow ax + ay = a(x+y) \in \V$
  2. Opposite
    $-1 \in \R, x \in \V \rightarrow -x \in \V \and x + (-x) = 0$

Q1. 벡터 스페이스의 종류는 그럼 어떻게 결정되나요?
A1. Scalar Field의 종류에 의해 결정됩니다. $\R$이라면 실수 벡터, $\mathbb{C}$라면 복소수 벡터, 이런 식이죠.

Q2. 만약 두 벡터 스페이스 $\VBa$와 $\VBb$가 있다면, 두 벡터 스페이스는 이름 말고 뭐가 다를 수 있나요?
A2. 심볼릭하게는, 다른 점이 없습니다. 아마도 차원dimension이 있다면 그들을 구분지을 수 있겠네요.

차원이 뭘까요?

$q \in \VBa$를 만들 수 있는 벡터의 최소 집합minimal set의 크기를 차원이라고 합니다. $q$가 $\VBa$의 벡터 원소인 $w, p, n, o \in \V$와 스칼라 원소인 $a, b, c, d \in \R$의 결합 $q = aw + bp + cn + do$로 표현되어질 수 있고, 이것보다 더 적은 수의 벡터 원소로는 표현될 수 없다면, $\VBa$의 차원은 4차원이겠네요.

만약 두 벡터 스페이스의 스칼라 필드의 종류가 같고, 차원이 같다면 두 벡터 스페이스는 Isomorphic하다고 합니다.

기초적인elementary 벡터 스페이스

여기까지의 정의로 얻어진 벡터 스페이스를 Elementary Vector Space라고 하겠습니다. 우리가 기존에 벡터를 배울 때 같이 따라왔던 내적inner product, 데카르트 곱cartesian product, 노름norm등은 정의되어있지 않습니다. 이러한 성질들이 없어도, 벡터 스페이스는 벡터 스페이스입니다. 이러한 성질들을 추가로 가진 벡터 스페이스들은 Advanced Vector Space라고 하겠습니다. 이후에 Tensor Product를 설명하면서 데카르트 곱, Metric Tensor를 설명하면서 내적과 노름이 자연스럽게 정의되게 됩니다.