Tensor 5. Tensor Products

XylyXylyX의 What is Tensor 강의를 정리한 노트입니다. 이 글은 재생목록의 5강 Tensor Products에 해당합니다.

텐서는 맵입니다

벡터 스페이스 $\V$ 와 듀얼 스페이스 $\V^*$ , 그리고 지난 편의 카테시안 프로덕트Cartesian product가 준비되었습니다. $\V$ 와 $\V$ 자신의 카테시안 프로덕트 $\V \times \V$ 는 벡터 두 개를 순서대로 묶은 순서쌍의 집합입니다. 이 집합에서 실수로 가는 선형 맵을 만들 겁니다.

\V \times \V \to \R

이런 맵이 바로 텐서tensor입니다. 텐서는 벡터 스페이스들의 카테시안 프로덕트에서 원소를 받아 실수를 내주는 맵이고, 정의는 이것이 전부입니다. 텐서는 종류가 많은데, 그건 곱하는 스페이스의 개수와 종류가 여러 가지이기 때문입니다. 지금은 $\V$ 두 개를 곱한 경우만 봅니다. (이 곱 집합 자체를 벡터 스페이스로 만들려면 덧셈과 스칼라 곱을 따로 정의해야 하는데, 그 일은 직합direct sum이라는 연산이 하고 여기서는 필요 없습니다.)

텐서 프로덕트의 정의

맵은 규칙을 마음대로 정해도 되지만, 우리는 $\V$ 를 만들 때 따라온 것 말고는 아무것도 새로 만들고 싶지 않습니다. 그리고 선형이어야 합니다. 손에 있는 도구는 듀얼 스페이스에 사는 맵뿐입니다. 이 조건이 설계를 사실상 하나로 정해 줍니다. 듀얼 벡터 둘, $\beta$ 와 $\alpha$ 를 가져와서 텐서 프로덕트tensor product $\otimes$ 로 묶습니다.

\map{\beta \otimes \alpha}{(v, w)} = \map{\beta}{v}\,\map{\alpha}{w}

$\beta \otimes \alpha$ 는 통째로 맵 하나의 이름입니다. 이 맵은 벡터 $v, w$ 의 순서쌍을 받아서, 첫째 듀얼 벡터를 첫째 벡터에 작용시킨 실수와 둘째 듀얼 벡터를 둘째 벡터에 작용시킨 실수를 곱합니다. 선형성을 지키면서 듀얼 스페이스의 도구만 쓰는 방법은 이 곱뿐입니다. 이 정의는 이 대상이 이렇게 행동하는 맵이라는 선언일 뿐이고, $\beta$ 와 $\alpha$ 에 어떤 이항 연산을 적용해서 새 대상을 얻는다는 뜻이 아닙니다. 이 맵에 $\Lambda$ 같은 새 이름을 붙일 수도 있지만, 그러면 자리가 두 개인 맵이라는 사실을 잊고 한 벡터에만 작용하는 보통 맵과 헷갈리기 쉽습니다. 그래서 $\beta \otimes \alpha$ 꼴로 두면 두 자리가 있다는 것을 늘 알 수 있습니다.

듀얼 스페이스의 원소도 벡터를 하나 받아 실수를 내주므로, 자리가 하나뿐인 아주 단순한 텐서로 볼 수 있습니다.

텐서 프로덕트 스페이스

이렇게 만든 맵끼리 더하고 싶습니다. 선형성을 지키도록 정의하면 됩니다.

\map{\beta \otimes \alpha + \gamma \otimes \delta}{(v, w)} = \map{\beta}{v}\map{\alpha}{w} + \map{\gamma}{v}\map{\delta}{w}

실수 $a, b$ 를 곱하는 것도 같은 방식으로 자연스럽게 정해집니다. 덧셈과 스칼라 곱이 생겼으니, 이런 텐서 전체의 집합은 벡터 스페이스입니다. 이것을 텐서 프로덕트 스페이스tensor product space라고 부르고 $\V^* \otimes \V^*$ 로 씁니다. 여기서는 $\otimes$ 를 집합 사이에 쓰고 있어서 기호가 조금 중복됩니다. 양쪽에 듀얼 벡터 하나씩이 오면 텐서 하나가 되고, 양쪽에 집합이 오면 가능한 텐서 전체의 모음이 됩니다. 어느 쪽인지는 문맥으로 알 수 있습니다.

그리고 이 스페이스는 벡터 스페이스이니, 그 원소인 모든 텐서는 벡터입니다. 말이 어색하게 들려도 틀린 말이 아닙니다. 더할 수 있고, 스칼라를 곱할 수 있고, 선형성이 있기 때문입니다.

기저와 성분

$\V^* \otimes \V^*$ 가 벡터 스페이스이니 기저가 있어야 합니다. 원소가 텐서이므로 기저도 텐서입니다. 어렵지 않게 짐작할 수 있듯이, 듀얼 기저 둘씩 짝지은 것입니다.

e^0 \otimes e^0,\ e^0 \otimes e^1,\ \dots,\ e^3 \otimes e^3

차원이 4일 때 $4 \times 4 = 16$ 개이므로 이 스페이스는 16차원입니다. 기저 텐서 하나가 벡터 쌍에 어떻게 작용하는지 봅시다. 벡터 $a^\mu e_\mu$ 와 $b^\nu e_\nu$ 에 $e^1 \otimes e^2$ 를 작용시키면 이렇게 됩니다.

\map{e^1 \otimes e^2}{(a^\mu e_\mu,\ b^\nu e_\nu)} = \map{e^1}{a^\mu e_\mu}\,\map{e^2}{b^\nu e_\nu} = a^\mu \delta^1{}_\mu \; b^\nu \delta^2{}_\nu = a^1 b^2

기저를 이렇게 골랐기 때문에 결과가 성분의 단순한 곱이 되고, 우리가 이 기저를 고르는 이유가 바로 계산이 쉬워지기 때문입니다. 물론 이것도 우리가 정한 것입니다.

임의의 텐서는 기저 텐서의 선형 결합이고, 계수에는 첨자가 두 개 필요합니다. 아인슈타인 합 규약으로 쓰면 이렇습니다.

T = T_{\mu\nu}\, e^\mu \otimes e^\nu = T_{00}\, e^0 \otimes e^0 + T_{01}\, e^0 \otimes e^1 + \dots + T_{33}\, e^3 \otimes e^3

$T_{\mu\nu}$ 는 기저 텐서마다 하나씩 붙는 실수 16개입니다. 일반 상대성 이론에서 만나는 그 이차 텐서가 바로 이 계수들입니다. 그러니 이 숫자들은 텐서(벡터)의 성분이고, 어떤 기저를 골랐느냐에 따라 달라집니다. 텐서 그 자체와는 구분해야 합니다.

직접 계산해 봅시다. 차원은 2로 줄였습니다. $\beta \otimes \alpha$ 의 성분은 $T_{\mu\nu} = \beta_\mu \alpha_\nu$ 이고, 정의대로 계산한 값과 성분 표로 계산한 값이 같아야 합니다.

Q. 텐서 프로덕트 스페이스의 원소는 모두 $\beta \otimes \alpha$ 꼴인가요?
A. 모든 원소가 꼴 하나로 쓰이는 것은 아닙니다. 위 장난감에서 “곱 둘의 합”을 골라 보세요. 곱 하나로 만든 표는 행렬식이 늘 0이지만, 두 개를 더하면 행렬식이 0과 다른 표가 나옵니다. 정의에서 더한 결과도 이 스페이스의 원소로 허용했으므로 곱 하나로 쓸 수 없는 텐서도 스페이스 안에 있습니다. (이 설명은 2차원 예시로 확인한 것이고, 강의에서 따로 다룬 내용은 아닙니다.)

다음 편에서는 더 큰 텐서 프로덕트 스페이스를 만들고, 텐서가 어떻게 작용하는지를 더 살펴봅니다. 지금 기억할 것은 두 가지입니다. 텐서는 벡터 쌍을 실수로 보내는 맵이고, 그 쌍은 벡터 둘입니다. 벡터와 코벡터의 쌍이 아닙니다.

These are my notes on XylyXylyX’s What is Tensor lectures. This post covers lecture 5 of the playlist, Tensor Products.

A tensor is a map

We now have a vector space $\V$ , its dual space $\V^*$ , and the Cartesian product from the previous post. The Cartesian product of $\V$ with itself, $\V \times \V$ , is the set of ordered pairs of two vectors. We are going to build a linear map from this set to the real numbers.

\V \times \V \to \R

Such a map is a tensor. A tensor is a map that takes elements of a Cartesian product of vector spaces and returns a real number, and that is the whole definition. There are many kinds of tensors because there are many numbers and kinds of spaces to multiply. For now we look only at the case of two copies of $\V$ . (To make this product set itself a vector space we would have to define addition and scalar multiplication separately. An operation called the direct sum does that, and we do not need it here.)

Defining the tensor product

A map may follow any rule we like, but we do not want to create anything new beyond what came with $\V$ . And the map must be linear. The only tools at hand are the maps living in the dual space. These conditions practically fix the design. Take two dual vectors $\beta$ and $\alpha$ and join them with the tensor product $\otimes$ .

\map{\beta \otimes \alpha}{(v, w)} = \map{\beta}{v}\,\map{\alpha}{w}

$\beta \otimes \alpha$ as a whole is the name of one map. The map takes an ordered pair of vectors $v, w$ , applies the first dual vector to the first vector and the second dual vector to the second, and multiplies the two real numbers. This product is the only way to keep linearity while using only tools from the dual space. This definition is a declaration that the object is a map which behaves this way. It does not say that we apply some binary operation to $\beta$ and $\alpha$ to get a new object. We could give this map a new name such as $\Lambda$ , but then we would forget that it has two slots and easily confuse it with an ordinary map that acts on a single vector. Leaving it in the form $\beta \otimes \alpha$ always reminds us that there are two slots.

An element of the dual space also takes one vector and gives a real number, so it can be seen as a very simple tensor with a single slot.

The tensor product space

We want to add maps built this way. We can define the sum so that linearity is kept.

\map{\beta \otimes \alpha + \gamma \otimes \delta}{(v, w)} = \map{\beta}{v}\map{\alpha}{w} + \map{\gamma}{v}\map{\delta}{w}

Multiplication by real numbers $a, b$ is fixed in the same natural way. Since addition and scalar multiplication exist, the set of all such tensors is a vector space. We call it the tensor product space and write it $\V^* \otimes \V^*$ . Here $\otimes$ is written between sets, so the symbol is a bit overloaded. With one dual vector on each side we get a single tensor, and with sets on both sides we get the collection of all possible tensors. The context tells us which one is meant.

And since this space is a vector space, every tensor, as an element of it, is a vector. The statement may sound odd but it is not a mistake. We can add them, multiply them by scalars, and they have linearity.

Basis and components

Since $\V^* \otimes \V^*$ is a vector space, it needs a basis. Its elements are tensors, so the basis consists of tensors. As you can guess, they are pairings of the dual basis vectors.

e^0 \otimes e^0,\ e^0 \otimes e^1,\ \dots,\ e^3 \otimes e^3

In dimension 4 there are $4 \times 4 = 16$ of them, so this space is 16-dimensional. Let us see how one basis tensor acts on a pair of vectors. Applying $e^1 \otimes e^2$ to the vectors $a^\mu e_\mu$ and $b^\nu e_\nu$ gives this.

\map{e^1 \otimes e^2}{(a^\mu e_\mu,\ b^\nu e_\nu)} = \map{e^1}{a^\mu e_\mu}\,\map{e^2}{b^\nu e_\nu} = a^\mu \delta^1{}_\mu \; b^\nu \delta^2{}_\nu = a^1 b^2

Because we chose the basis this way, the result is a simple product of components, and that is exactly why we choose it: it makes calculation easy. Of course this too is our own choice.

An arbitrary tensor is a linear combination of basis tensors, and the coefficients need two indices. With the Einstein summation convention it is written like this.

T = T_{\mu\nu}\, e^\mu \otimes e^\nu = T_{00}\, e^0 \otimes e^0 + T_{01}\, e^0 \otimes e^1 + \dots + T_{33}\, e^3 \otimes e^3

$T_{\mu\nu}$ are 16 real numbers, one attached to each basis tensor. They are the coefficients of the rank-2 tensor you meet in general relativity. So these numbers are the components of the tensor (a vector), and they change with the basis we pick. They are not the tensor itself.

Let us compute by hand. I reduced the dimension to 2. The components of $\beta \otimes \alpha$ are $T_{\mu\nu} = \beta_\mu \alpha_\nu$ , and the value computed by the definition must agree with the value computed from the component table.

Q. Is every element of the tensor product space of the form $\beta \otimes \alpha$ ?
A. Not every element can be written in one form. In the toy above, choose “Sum of two products”. A table made from one product always has determinant 0, but adding two can give a table with a nonzero determinant. Our definition allows sums as elements of this space, so tensors that cannot be written as a single product live in the space too. (I checked this with a 2-dimensional example, and the lecture does not cover it separately.)

In the next post we build bigger tensor product spaces and look further at how tensors act. Two things to remember for now. A tensor is a map that sends a pair of vectors to a real number, and the pair is two vectors. It is not a vector and a covector.

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